Del 1 – Teoretiske del
Indledning:
• Hvad er deskriptiv statistik?
• Hvorfor bruger vi deskriptiv statistik?
”Deskriptiv statistik er en fællesbetegnelse for en række statistiske metoder, hvor resultatet af en statistisk opgørelse præsenteres på enkel måde i tabelform eller som en grafisk fremstilling.”
• Denstoredanske.dk
Beskrivende statistik er ikke en forudsætning for statistisk analyse af tal. Der kan dog tit aflæses enkelte konklusioner ud fra tabeller eller grafer. Deskriptiv statistik er derfor et godt middel til at skabe overblik over en stor række observationer eller målinger. Deskriptiv statistik kan samtidigt også hjælpe os med at forstå tendenser, for at se hvilken retning en udvikling har, eller sammenligne to målinger.
Grupperede variable og diskrete variable
Grupperede variable er udtrykket for at der indgår intervaller under hyppighederne. Fx kan dette forekomme under en måling af aldersgrupper som hyppighed. Intervaller kan samtidigt forekomme ved observationer af fx. skostørrelser. Her kunne man fx, skulle bruge størrelserne fra [36-38[ i en observation og [39-41[ i en anden observation. Her ser vi netop 2 intervaller i en grupperet variable.
Ved grupperede variable forekommer der ofte decimaltal.
Diskrete variable er udtrykket for at der kun opstår én observation af gangen. Her er hverken observationerne eller hyppigheden opstillet i intervaller. Der kan ikke komme decimaltal inder diskrete variable, da der ikke er nogle intervaller og observationens svar derfor er endeligt.
Standardafvigelsen
Standardafvigelsen findes ved at tage kvadratroden af variansen. Det resultat som derefter forekommer er din standardafvigelse. Et andet ord for standardafvigelsen er spredningen. Standardafvigelsen kan kun findes hvis man arbejder med grupperede variable.
Både standardafvigelse og variansen er udregninger som er nødvendige for at, finde ud af, hvor stor afvigelse resultatet (x) er fra gennemsnittet.
Deskriptioner, variationsmål og positionsmål:
Deskriptioner siger noget om en fordeling. De deskriptioner, som beskriver noget om positionsmål er: Middeltal, typetal, median og hyppighed.
De deskriptioner, som beskriver noget om variationsmål er: Variationsbredde, frekvens, spredning, Minimum og maksimum, fraktil + øvre og nedre kvartil.
Diagrammer:
I statistik benytter vi os af diagrammer til at beskriver et antal observationer, som man har akkumuleret sig via målinger, undersøgelser osv. Diagrammer vil ofte gøre ens observationer mere overskuelige, samt gøre det nemmere for personer der ikke har arbejdet med det, til at forstå sammenhængen. Der findes et hav af forskellige typer af diagrammer, og der er forskel på hvornår man yder størst nytte af at anvende det ene diagram frem for det andet.
Pindediagram:
• Har den fordel, at hver observation står relativt alene, og det derfor gør det mere overskueligt at læse. Det er også en god løsning hvis man vil lave mange observationer. Du kan samtidig finde middelværdien og spredningen.
Trappediagram:
• Benyttes hovedsagligt til at vise den kumuleret frekvens. Der tages udgangspunkt i observationer og frekvens.
Histogram:
• Benyttet som en visuel overblikskabelse over intervaller. Der tages udgangspunkt i observationer og frekvens.
Sumkurve:
• Brugt som overblikskabelse. Der tages udgangspunkt i intervaller og den kumuleret frekvens.
Boksplot:
• Benyttes som en nem metode til at illustrere median, maksimum og minimum værdier, samt kvartiler.
Frekvenstabel:
En frekvenstabel er opbygget af følgende:
• Observationer xi
• Hyppigheden hi
• Frekvens fi
• Kumuleret Frekvens Fi
Observationer xi
• Skal ikke beregnes, da observationer betegner optalte målinger.
Hyppigheden hi
• hi = Betegner antallet af gange en observation optræder.
Frekvens fi
• fi = hi:n
• h = hyppighed
• n = observationer i alt
Benyttes til at lave pindediagrammer, histogrammer og danne opservatøren et overblik over observationerne, som er målt.
Kumuleret frekvens F1
• Fi = f1 + f2 + ….f1 – 1 + f1
Del 2 – Uddybende del
Gennemsnit – Potionsmål:
Det matematiske begreb gennemsnit, er et udtryk brugt til at beskrive middelværdien af en række observationer eller målinger.
– Disse 3 metoder beregner alle gennemsnittet på forskellig vis, men giver det samme resultat. Nedenfor får du en dybere forståelse for hver af de 3 metoder.
Første metode
Den første metode man kan bruge til at gennemsnitsregne på, er den metode man nok lære først. Man starter med at sætte alle sine observationer op, så du får et godt overblik over hvilke tal du har. Når du har stillet dine observationer op, og har fået dig et overblik, så skal du ligge alle dine observationer sammen, det tal du får ud af at lægge observationerne sammen, kaldes en sum, dette tal skal du så dividere med antallet af de observationer du har i alt.
Formlen for dette ser sådan her ud.
Anden Metode
Den anden metode er en forkortet eller forenklet version af den første metode. I den her metode skal du ikke ligge alle observationer sammen, men gange xi med hi.. hvis vi siger x1*h1+x2*h2+x3*h3., giver det summen af alle de observationer der er, og herefter skal du igen dividere med n, som er antallet af alle dine observationer. Dette giver gennemsnittet af alle observationer.
Formlen kommer til at se sådan her ud.
Tredje metode
Sidst men ikke mindst, har vi den tredje metode. Denne metode, er i manges øjne den ideelle, da den hurtigt og nemt giver dig mulighed for at beregne gennemsnittet. Metoden benyttes ved at skrive formlen ind i sin frekvenstabel. Man tager i metoden udgangspunkt i i xi og fi, men bruger hi som mellemregning til at udregne og finde fi (fi = hi:n).
Denne metoder minder utroligt meget om metode to, og så ikke helt. I den tredjemetode siger vi i stedet for , i stedet xi*fi, fordi fi=hi:n. Dvs. At vi i den tredjemetode springer hi:n delen af metode 2 over, og benytter os i stedet af fi.
Formlen for den tredje metoder, ser ligeledes sådan ud:
Del 3 – Anvendelses del
Opgave 1
En virksomhed sælger marmelade i glas med en angivet vægt på 420g. Man har kontrolleret vægten af et antal marmeladeglas og hyppigheds fordelingen fremgår af nedenstående tabel.
Vægt i gram. (Observationer)
Antal glas. (hyppigheden)
]350;375]
10 0.074%
]375;400]
35 0.259%
]400;425]
47 0.348%
]425;450]
20 0.148%
]450;475]
23 0.171%
Afbild fordelingen i en sumkurve
Bestem den gennemsnitlige vægt og standartafvigelsen og fortolk disse.
Gennemsnitlige vægt:
=
Standardafvigelsen:
Opgave 2
A
Jeg skal bestemme kvartilsættet, typetallet, kvartilafstanden og variationsbredden.
Jeg finder først ved kvartilsættet ved at lave en summeret frekvens:
Observationer xi
Frekvens fi
Summeret frekvens
5
0.1
0,1
10
0.17
0,27
15
0.20
0,47
20
0.13
0,6
25
0.05
0,65
30
0.25
0,9
35
0.1
1
Derefter aflæser jeg, hvor den summerede frekvens rammer 0.25, 0.5 og 0,75 for at finde henholdsvis 1. kvartil, median og 3. kvartil.
Jeg kan aflæse på tabellen at 10 er første kvartil, 20 er medianen og 30 er 3. kvartil.
Jeg finder nu typetallet ved at se hvilken observation der har den højeste frekvens.
Dette kan jeg aflæse på skemaet til at være 30.
Jeg skal nu finde kvartilafstanden, som jeg gør ved at finde differencen mellem 1. kvartil og 3 kvartil.
Derfor er kvartilbredden 20.
Jeg finder nu variationsbredden ved at finde differencen mellem den højeste observation og laveste observation:
Derfor er variationsbredden 30.
Jeg har nu fundet ud af at 10 er første kvartil, 20 er medianen og 30 er 3. Kvartil. Derudover har jeg også fundet ud af at typetallet er 30 og kvartilbredden er 20. Til sidst fandt jeg ud af at variationsbredden er 30.
B
Her ses et diagram over fordelingen: