Deutsches Gymnasium für Nordschleswig
Svinget 26-28, DK 6200 Aabenraa/ Apenrade .
Telefon +45 74 62 26 36, Fax +45 74 62 76 60
Studienrichtungsprojekt 3g, Dezember 2017
Name: Simon Skytte Eggert
Klasse: 3b
Studienrichtung: Mathematisch Naturwissenschaftlich
Themenbereich: Volumenintegrale zur Bestimmung von Trägheitsmomenten
Aufgabenformulierung:
Ein Volumenintegral ist in der Mathematik ein Beispiel für mehrdimensionale Integralrechnung. Volumenintegrale finden unter anderem in der Physik Anwendung, da sich viele Probleme mit ihrer Hilfe mathematisch analysieren lassen. Insbesondere bei der Berechnung von Trägheitsmomenten sind Zylinder- und Kugelkoordinaten hilfreich.
Erläutere die Darstellung von Punkten im Raum durch Zylinder- und Kugelkoordinaten. Gehe insbesondere auf die Umwandlung von karthesischen in Zylinder- und Kugelkoordinaten ein.
Führe den Begriff des Volumenintegrals ein. Zeige dabei an mindestens einem Beispiel die Berechnung von Volumenintegralen mithilfe der eingeführten Zylinderkoordinaten.
Erläutere den Begriff des Trägheitsmomentes und berechne mithilfe der Volumenintegrale Trägheitsmomente verschiedener geometrischer Körper. Erläutere die Bedeutung von Trägheitsmomenten für die Beschreibung rotierender Körper.
Erwarteter Umfang der Arbeit: 15 -20 Seiten
Fachkombination: Mathematik A, Physik A
Beratende(r) Lehrer: Jens Mittag
Das Abschicken der Arbeit über die Plattform „netprøver“ und die Nutzung dieses Deckblattes des Deutschen Gymnasiums gilt als Erklärung, dass die Arbeit selbstständig angefertigt und fremdes Gedankengut als solches kenntlich gemacht wurde.
Abstract
This paper investigates the mass moment of inertia of different rigid bodies. It also explains the relationship between mass moment of inertia and the rotational energy stored in rotating objects. To accomplish that the paper explains how the mass moment of inertia is defined and how you can calculate it. To calculate it for cylindrical and spherical bodies the paper introduces spherical and cylindrical coordinate systems, which makes it easier to illustrate, those bodies. The use of volume integrals to calculate the mass moment of inertia is also explained. With help of that information, the paper derives the mass moment of inertia of some bodies with homogeny density.
Indholdsfortegnelse
Indledning 1
Rotationsenergi og bevægelsesenergi 1
Inertimoment 2
Inertimoment af en punktmasse 3
Inertimoment af større objekter 3
Rumintegraler 4
Polære koordinatsystemer 5
Cylindrisk koordinatsystem 5
Volumeneelementet for cylindriske koordinater. 6
Sfærisk koordinatsystem 7
Volumenelement for sfæriske koordinater 9
Inertimomenter af forskellige geometriske figurer 9
Inertimomentet for en cylinder med homogen densitet 9
Inertimoment af en hul cylinder med homogen densitet 11
Inertimomentet af en kugle 13
Afstanden til omdrejningsaksen i en kugle 13
Inertimomentet af en kugle med homogen densitet 14
Hastighed af en cylinder og en hul cylinder 16
Konklusion 20
Bibliografi 20
Rumintegraler til bestemmelse af inertimomenter
Indledning
Når en kunstskøjteløber laver en piruet og ud af ingenting begynder at accelerere om rotationsaksen, hænger det sammen med at hans/hendes inertimoment falder. Hvis et hjul er sat i bevægelse fortsætter det med at rotere til det bliver bremset på grund af dens inertimoment. Hvis man lader en cylinder og en hul cylinder med lige stor masse og samme omkreds rulle ned af en rampe ruller de ikke lige stærkt. Dette skyldes inertimomentet.
I denne opgave vil jeg forklare hvad inertimomentet er og hvordan man beregner det. Formålet med opgaven er, at beregne inertimomentet for forskellige geometriske figurer. Ydermere vil jeg vise, hvordan inertimomentet for forskellige figurer ændrer deres måde at bevæge sig på. For at kunne vise dette, vil jeg først forklare, hvad sammenhængen mellem inertimomentet og rotationsenergi er. For at gøre det lettere at beregne inertimomentet for cylindre og kugler vil jeg beregne inertimomentet ved hjælp af cylindriske og sfæriske koordinater i stedet for de normalt anvendte kartesiske koordinater. Selve inertimomentet vil jeg beregne ved hjælp af rumintegraler. Dertil vil jeg naturligvis først forklare, hvad et rumintegral er.
Rotationsenergi og bevægelsesenergi
Når man forsøger at få et objekt til at rotere, er der en modstand eller en modvillighed for at rotere. Denne modvillighed hænger sammen med, at objektet er trægt. Denne træghed kan sammenlignes med, når man forsøger at skubbe et objekt op i fart. Man skal bruge energi til at sætte bevægelsen i gang og man skal bruge energi til at stoppe bevægelsen igen. Det er det vi normalt kender under formlen:
E_kin=1/2 mv^2
I denne formel er m massen i kg, v er objektets hastighed i m/s og E_kin er den kinetiske energi i J lagret i objektet.
Jo tungere et objekt er, desto mere kinetisk energi, skal man bruge for at få det op i fart og mere energi er også lagret i objektet.
Det samme gør sig gældende for roterende bevægelser. Energien for roterende bevægelser defineres med følgende formel:
E_rot=1/2 Iω^2
I denne formel er I Inertimomentet i kg∙m^2, ω er vinkelhastigheden i rad/s, mens E_rot er rotationsenergien i J.
Inertimomentet er derfor for roterende bevægelser, hvad massen er for lineære bevægelser.
Hvis man ser på kunstskøjteløberen, der som nævnt i indledningen uden ydre påvirkninger begynder at accelerere, bliver man nød til at se på inertimomentet for at finde forklaringen. Da der ikke virker nogen kraft, burde kunstskøjteløberen umiddelbart ikke accelerere. Forklaringen kan dog findes i ligningen for rotationsenergi:
E_rot=1/2 Iω^2
Da rotationsenergien kun bliver reduceret minimalt, kun gennem luftmodstanden og friktion med isen, må man konkludere, at får at vinkelhastigheden ω skal stige, så bliver inertimomentet I nød til at falde.
Inertimoment
Inertimomentet er som sagt, den størrelse der får en rotation til at være træg. Inertimomentet får et objekt hænger sammen med dens masse, og dens afstand til rotationsaksen. Jo større masse et objekt har desto større er inertimomentet. Samtidig gælder det, at jo længere væk fra rotationsaksen massen befinder sig, desto større er Inertimomentet.
For kunstskøjteløberen betyder det, at da han/hun ikke kan ændre på sin masse, bliver han/hun nød til at reducere afstanden til rotationsaksen for at få et lavere inertimoment. Dette gør han/hun, ved at opbygge en stor mængde rotationsenergi med armene udstrakt, for derefter at trække armene ind til kroppen, hvorved hun reducerer afstanden til rotationsaksen. Dette fører til, at inertimomentet falder, og dermed stiger vinkelhastigheden.
Inertimoment af en punktmasse
For en punktmasse er inertimomentet defineret ud fra følgende formel:
I=mr^2
I denne formel er I Inertimomentet i kg∙m^2, m er massen i kg og r er afstanden mellem massen og rotationsaksen.
Ulempen ved denne formel er, at objektet ikke må have nogen dimension. Så snart objektet har en dimension, er der dele af objektet der er tættere på rotationsaksen og andre dele af objektet, der er længere fra rotationsaksen. Derfor vil der heller ikke være et r som kan indsættes i formlen.
Inertimoment af større objekter
Hvis man, i stedet for at beregne Inertimomentet af en enkelt punktmasse, ønsker at beregne Inertimomentet for et helt objekt bliver man nød til at lægge alle punktmasse i hele objektet sammen. Man beregner derfor summen af alle punktmasser, hvilket er udtrykt ved følgende formel:
I=∑_(i=1)^n▒〖m_i∙r_i^( 2) 〗
Hvis man lader massen gå mod 0 og derved danner grænseværdien, kan man erstatte Summationstegnet med et integral og erstatte m med dm:
I=∫▒〖r^2∙dm〗
Da m=ρ∙V, kan integralet omskrives til følgende. Derved bliver det volumenet der går mod 0.
I=∫▒〖r^2∙ρ∙dV〗
Hvis densiteten af objektet er konstant, kan ρ skrives uden for integralet.
I=ρ∫▒〖r^2∙dV〗
Rumintegraler
Integralet som blev afledt i foregående afsnit, er et rumintegral. Et rumintegral er et integral i tre dimensioner. Det vil sige at man integrerer over x-koordinaten, y-koordinaten og z-koordinaten. Hvis man ser på opbygningen af en normal funktion ∫_a^b▒〖f(x)∙dx〗 kan man se meningen med integralet. Hver uendeligt lille forskel i x-værdien, altså dx, bliver ganget med den tilhørende funktionsværdi, f(x). Dernæst bliver alle produkter af x∙f(x), hvor a≤x≤b adderet, hvilket betyder at integralet, er summen af alle f(x)∙x. Et enkeltintegral er derfor et integral i én dimension. Der er én definitionsmængde, som bliver multipliceret med én funktionsværdi.
I et rumintegral bliver samme funktion, som sagt ikke kun integreret over én definitionsmængde men over tre. Det betyder, at man får følgende opbygning af et rumintegral:
∫_a^b▒∫_c^d▒∫_e^f▒〖f(x)∙dxdydz〗
For et rumintegral betyder det, at man multiplicerer en uendeligt lille forskel i x-værdien, dx, med en uendeligt lille forskel i y-værdien, dy, med en uendeligt lille forskel i z-værdien, dz. Dette giver en uendeligt lille kasse, som så bliver multipliceret med funktionsværdien. Det vil sige at hvert enkelt volumenelement defineret ved dxdydz bliver multipliceret med en funktionsværdi. Ved at tage summen af funktionsværdien af hver uendeligt lille kasse, som befinder sig mellem grænserne a og b får man en lang tynd søjle. Hvis man dernæst tager summen af alle de søjler der kan passe mellem c og b får man en plan. Hvis man til sidst adderer alle planer der er mellem e og f får man en kasse. Denne kasse har derfor sidelængderne: b-a, d-c og f-e. Da multiplikationer og additioner er kommutative, er det ligegyldigt i hvilken rækkefølge integrationen gennemføres i.
Polære koordinatsystemer
Det kartesiske koordinatsystem er opbygget ud fra rette vinkler og parallelle linjer. Systemet har mange fordele, hvis man vil beskrive figurer der også har rette vinkler. Men ikke alle figurer i vores hverdag er bygget op omkring rette vinkler. En del af de ting vi omgiver os med, er runde, kugleformede eller har andre former for buer. Sådanne ting er mulige at illustrere i et kartesisk koordinatsystem, men på grund af at der ikke er nogen rette vinkler, er det ikke oplagt. For at imødekomme dette problem har man udviklet forskellige polære koordinatsystemer. De polære koordinatsystemer har det tilfælles at de ikke angiver afstanden i tre forskellige retninger, men at afstanden til et punkt bliver angivet ved hjælp af en radius og mindst en vinkel. Volumenelementet for polære koordinater er derfor heller ikke lige så simpelt som ved de kartesiske koordinater. For at finde volumenet, skal man nemlig multiplicere tre længder. Derfor skal man finde ud af hvordan vinklerne tager indflydelse på volumenelementet.
Cylindrisk koordinatsystem
I det cylindriske koordinatsystem er x og y koordinaterne erstattet med koordinaterne r, φ, hvorimod z-koordinaten forbliver den samme. Z-koordinaten angiver, ligesom ved de kartesiske koordinater punktets mindste afstand fra xy-planen. Koordinaten r angiver afstanden fra polaraksen , svarer til z-aksen i det kartesiske koordinatsystem, til punktet. φ, der kaldes azimuth angiver vinklen mellem r og x-aksen i radianer.
For at man kan regne et punkts position i cylindriske koordinater om til kartesiske koordinater skal man for z koordinaten naturligvis ikke regne noget. For x og y koordinaten skal man derimod bruge cosinus og sinus. Figur 1 forestiller et cylindrisk koordinatsystem set fra oven, dvs. at man kun kan se punktets position i xy-planen. Som det fremgår af figuren danner r sammen med x og y en retvinklet trekant. Hvis man bruger sinus på denne trekant får man:
sin(v)=(modstående katete)/hypotenuse [1]
sin(φ)=y/r
Omregningsfaktoren for y-koordinaten lyder således:
〖y=sin〗(φ)∙r
Hvis man bruger cosinus på trekanten kan man opstille følgende ligning:
cos(v)=(hosliggende katete)/hypotenuse [2]
cos(φ)=x/r
Omregningsfaktoren for x-koordinaten er derfor:
x=cos(φ)∙r
Ud fra de to opstillede ligninger, kan man også beregne φ:
φ=arcos(x/r)=arsin(y/r)
Længden r kan beregnes ved hjælp af Pythagoras sætning:
a^2+b^2=c^2
x^2+y^2=r^2
√(x^2+y^2 )=r
Volumeneelementet for cylindriske koordinater.
Figur 2 illustrerer volumenelementet for de cylindriske koordinater. På trods af at volumenelementet ikke er en geometrisk kasse, bliver den ved beregningen af volumenet betragtet som én. For at beregne volumenet på en kasse skal man bruge højden, længden og bredden på kassen. For de cylindriske koordinater udgør z højden og r længden. Men fordi φ ikke er nogen distance, bliver man nød til at beregne bredden. Man kan man ikke, lige som ved de kartesiske koordinater multiplicere de tre koordinater og få volumenelementet. φ har dog indflydelse på bredden. Men bredden bliver også påvirket af afstanden til centrum af cylinderen. Vinklen φ bliver angivet i radianer. En radian er længden af den bue som vinklen afskærer i en cirkel med radius 1. Det vil sige at hvis radiussen øges med en faktor, så øges længden af den bue som vinklen afskærer med den samme faktor. Bredden er derfor φ∙r. Volumenet er derfor V=rφ∙r∙z
Som sagt er volumenelementet, i modsætning til ved de kartesiske koordinater, ikke en kasse. Da cirkelbuen, på illustrationen angivet med rdφ, ikke er lige, vil det beregnede volumen være upræcist. Denne unøjagtighed bliver minimeret, hvis man danner grænseværdien og derved lader alle variabler gå mod 0. Man skriver det, ved at tilføje et d foran variablerne, således at der kommer til at stå dV=rdφ∙dr∙dz.
Sfærisk koordinatsystem
Det sfæriske koordinatsystem har en ligner meget det cylindriske i dens opbygning. En væsentlig forskel er dog, at i det sfæriske koordinatsystem angiver r afstanden mellem punktet og polpunktet, svarende til ordigo i det kartesiske koordinatsystem. φ angiver heller ikke længere vinklen mellem x-aksen og r, men derimod vinklen mellem x-aksen og den vinkelrette projektion af r i xy-planet. Denne vinkel kaldes ligesom ved de cylindriske koordinater polarvinkel, og den spænder fra 0 til 2π. Den tredje koordinat er også en vinkel. Den angiver vinklen mellem r og polaraksen. Lige som ved de cylindriske koordinater, er det ved de sfæriske koordinater muligt at regne et punkts placering om til kartesiske koordinater: Den letteste koordinat at beregne er z-koordinaten da den kun bliver påvirket af θ og r. Fordi z-aksen og linjen fra P vinkelret på xy-planen er parallelle er vinklen ved P også θ. I denne trekant kan man ved hjælp af cosinus beregne afstanden mellem P og xy-planen. Denne afstand er også z koordinaten. Længden af z kan derfor udtrykkes som:
cos(θ)=z/r [2]
z-koordinaten beregnes derfor:
z=r∙cos(θ)
Både x-koordinaten og y-koordinaten er afhængige af alle tre sfæriske koordinater. Dertil skal man bruge to retvinklede trekanter. De to trekanter er markeret i figur 3. Da vinklen ved P er θ, kan man ved hjælp af sinus beregne længden af den lodrette projektion af r i xy-planen. Denne længde vil jeg fremover betegne som a. A kan beregnes således:
sin(θ)=a/r [1]
A er derfor:
〖a=sin〗(θ)∙r
I den retvinklede trekant, der ligger i xy-planen, er a hypotenusen, mens x og y er henholdsvis den hosliggende og den modstående katete. X-koordinaten kan derfor beregnes ved hjælp af cosinus:
cos(φ)=x/a [2]
x-koordinaten er derfor:
x=cos(φ)∙a
Fordi a=sin(θ)∙r lyder den endelige formel for x-koordinaten derfor:
x=cos(φ)∙sin(θ)∙r
Den samme fremgangsmåde kan bruges for y-koordinaten. Ved y-koordinaten skal man dog bruge sinus i stedet for cosinus:
sin(φ)=y/a [1]
y-koordinaten kan derfor betegnes som:
y=sin(φ)∙a
Fordi a=sin(θ)∙r lyder den endelige formel for y-koordinaten derfor:
y=sin(φ)∙sin(θ)∙r
Volumenelement for sfæriske koordinater
Volumenelementet for de sfæriske koordinater vil jeg ikke beregne i denne opgave. Den kan dog findes med samme tankegang som ved de cylindriske koordinater eller ved hjælp af Jacobimatriksen. Volumenelementet for de sfæriske koordinater er:
dV=r^2 sin(φ)dθdφdr
Inertimomenter af forskellige geometriske figurer
Ved hjælp af ovenstående informationer er det muligt, at bestemme inertimomentet af forskellige geometriske figurer.
Inertimomentet for en cylinder med homogen densitet
For at beregne Inertimomentet for en cylinder med homogen densitet skal man bruge rumintegralet. Funktionen der skal integreres vil være r^2. Denne funktion opstår ud fra ligningen for Inertimomentet I=m∙r^2, hvor m er blevet delt op i volumenelementet og densiteten. For volumenelementet indsætter jeg volumenelementet for de cylindriske koordinater som lyder r∙dφdzdr. Da densiteten er konstant behøver man ikke integrere denne del med og i stedet kan man multiplicere hele integralet med densiteten. Da der er tale om en cylinder er det selvfølgelig oplagt at bruge cylindriske koordinater til beregningen. Grænserne for integralet over r vil jeg definere som 0≤r≤R, hvor R er cylinderens radius. Grænserne for integralet over z er defineret som 0≤z≤H, hvor H er cylinderens højde. Grænserne for integralet over φ vil jeg betragte mellem 0≤φ≤2π, da dette er hele vejen rundt i cylinderen.
I=ρ∙∫_0^R▒∫_0^H▒∫_0^2π▒〖r^2∙r∙dφdzdr〗
Ved at integrere over θ får man følgende stamfunktion:
r^3∙θ |■(2π@0)
Hvis man indsætter grænserne får man:
r^3∙2π-r^3∙0=r^3∙2π
Man kan sætte dette udtryk ind i integralet igen:
I=ρ∙∫_0^R▒∫_0^H▒〖r^3∙2π∙dzdr 〗
Ved at integrere over z får man denne stamfunktion:
r^3∙2π∙z |■(H@0)
Hvis man indsætter grænserne får man:
r^3∙2π∙H-r^3∙2π∙0=r^3∙2π∙H
Dette udtryk sættes ind i integralet igen:
I=ρ∙∫_0^R▒〖r^3∙2π∙H∙dr〗
Stamfunktionen for denne integrand lyder:
r^4/4∙2π∙H |■(R@0)
Hvis man indsætter grænserne får man:
R^4/4∙2π∙H-0^4/4∙2π∙H=R^4/4∙2π∙H
Inertimomentet for en cylinder er derfor:
I=ρ∙R^4/2∙π∙H
Da m=ρ∙V og volumenet af en cylinder er defineret ved V=π∙H∙R^2 er massen af en cylinder med homogen masse defineret ved m=ρ∙π∙H∙R^2. Hvis man i ligningen for inertimomentet indsætter m i stedet for ρ∙π∙H∙R^2 får man følgende Inertimoment for en cylinder med homogen densitet:
I= 1/2 〖mR〗^2
Inertimoment af en hul cylinder med homogen densitet
Under en hul cylinder forstår man en cylinder, hvor der er skåret en mindre cylinder ud indeni. Man kan forestille sig det som et rør. Inertimomentet bliver ligesom ved en cylinder beregnet ved hjælp af et rumintegral. Ligesom ved cylinderen bruger man naturligvis cylindriske koordinater til beregningen. Dertil følger selvfølgelig at man skal bruge volumenelementet for de cylindriske koordinater til integrationen. Funktionen der vil blive integreret er naturligvis I=mr^2, hvor m dog er delt op i volumenelementet og densiteten. Igen er densiteten homogen, og derfor skrives denne uden for integralet. For grænserne gælder det ligesom ved cylinderen at z er 0≤z≤H, φ er 0≤φ≤2π. Til gengæld er grænserne for radiussen defineret ved r_h≤r≤R, hvor r_h er radiussen på hulrummet og R er radiussen på selve cylinderen. Integralet kommer til at så således ud:
I=ρ∙∫_(r_h)^R▒∫_0^H▒∫_0^2π▒〖r^2∙r∙dφdzdr〗
Hvis man starter med at integrere over φ får man følgende stamfunktion:
φr^3 |■(2π@0)
Ved indsættelse af grænserne får man følgende resultat:
2πr^3-0πr^3=2πr^3
Indsætter man resultatet i integralet ser integralet således ud:
I=ρ∙∫_(r_h)^R▒∫_0^H▒〖2πr^3 〗∙dzdr
Dette integral integreres nu over z. Derved følger denne stamfunktion:
2πzr^3 |■(H@0)
Indsættes grænserne, giver det følgende resultat:
2πHr^3-2π∙0∙r^3=2πHr^3
Integralet kommer til at se sådan ud:
I=ρ∙∫_(r_h)^R▒〖2πHr^3∙dr〗
Ved integration over r ser stamfunktionen således ud:
2πH/4∙r^4 |■(R@r_h )
Indsættes grænserne ser resultatet således ud:
2πH/4∙R^4-2πH/4∙r_h^( 4)
Ifølge den distributive lov er a∙(b+c)=a∙b+a∙c . Hvis man anvender den på ovenstående resultat får man følgende resultat:
2πH/4∙(R^4-r_h^( 4))
(R^4-r_h^( 4)) kan løses ved hjælp af den tredje kvadratsætning som lyder (x+y)∙(x-y)=x^2-y^2. R^4-r_h^( 4) svarer til x^2-y^2 i kvadratsætningen, hvilket betyder, at resultatet kommer til at se således ud:
2πH/4∙(R^2-r_h^( 2) )∙(R^2+r_h^( 2))
Dette resultat sættes ind i ligningen igen:
I=ρ∙2πH/4∙(R^2-r_h^( 2) )∙(R^2+r_h^( 2))
Volumenet af en hul cylinder er givet ved formlen V=π∙H∙(R^2-r_h^( 2)). Da m=V∙ρ vil massen af en hul cylinder være m=ρ∙π∙H∙(R^2-r_h^( 2)). Hvis man derfor indsætter m i stedet for ρ∙π∙H∙(R^2-r_h^( 2)). Er inertimomentet for en hul cylinder med homogen densitet derfor:
I=1/2 m(R^2+r_h^( 2))
Inertimomentet af en kugle
Jeg vil i følgende afsnit beregne inertimomentet af kugle med homogen densitet og med omdrejningsaksen gennem kuglens centrum. Dertil skal afstanden fra et punkt i kuglen til omdrejningsaksen først beregnes.
Afstanden til omdrejningsaksen i en kugle
I ligningen for inertimomentet I=〖mr〗^2 er r afstanden fra massepunktet til omdrejningsaksen. Dette r må ikke forveksles med det r som angiver kuglens radius i de sfæriske koordinater. For nemheds skyld vil jeg kalde afstanden til rotationsaksen for ”a” og radiussen fra de sfæriske koordinater vil fortsat blive kaldt ”r”. I figur 4 ses, at hvis man lader en kugle rotere rundt om z aksen, så vil afstanden fra punktet P til z-aksen være længden, der på billedet er angivet med a. Da a sammen med r og z aksen danner en retvinklet trekant, hvor a er den modstående katete til vinklen θ, kan man ved hjælp af sinus finde afstanden mellem punktet og rotationsaksen:
sin(θ)=a/r [1]
Hvis man stille ligningen om efter a får man:
a=r∙sin(θ)
Afstanden mellem et punkt i kuglen og z-aksen er derfor r∙sin(θ).
Inertimomentet af en kugle med homogen densitet
Da det er inertimomentet af en kugle, der skal beregnes, er det oplagt at bruge sfæriske koordinater. Som sagt tidligere beregner man Inertimomentet ved hjælp af et volumenintegral. Hvis man benytter sfæriske koordinater skal man naturligvis også bruge volumenelementet for de sfæriske koordinater i integranden. Funktionen der integreres er som altid I=mr^2. Her skal man være opmærksom på, at r i ligningen er afstanden til rotationsaksen som blev defineret som a=r∙sin(θ). hvor massen dog er delt op i volumenelementet og densiteten, således at det bliver ρ〖(r∙sin(θ))〗^2, der bliver integreret over de sfæriske koordinater. Da densiteten er homogen, kan man med fordel lade denne stå uden for integralet og kun integrere 〖(r∙sin(θ))〗^2. Grænserne som der vil blive integreret i, er for r defineret ved 0≤r≤R, hvor R er radiussen på kuglen. For φ gælder det at 0≤φ≤2π og θ er defineret som 0≤θ≤π. Ligningen for inertimomentet lyder derfor:
I=ρ∙∫_0^R▒∫_0^2π▒∫_0^π▒〖(r∙sin〖(θ))〗^2∙r^2 sin(θ)dθdφdr〗
Dette kan omskrives til:
I=ρ∙∫_0^R▒∫_0^2π▒∫_0^π▒〖r^4∙sin^3〖(θ)∙〗 dθdφdr〗
Hvis man starter med at integrere over θ får man følgende stamfunktion:
r^4 cos^3〖(θ)〗/3-cos(θ) |■(π@0)
Hvis man indsætter grænserne får man:
r^4 cos^3〖(π)〗/3-cos〖(π)-〗 r^4 cos^3〖(0)〗/3-cos(0)=r^4∙(-1/3+1)-r^4∙(1/3-1)=4/3∙r^4
Dette udtryk sættes igen ind i integralet:
I=ρ∙∫_0^R▒∫_0^2π▒〖4/3∙r^4∙dφdr〗
Hvis man integrerer over φ får man følgende stamfunktion:
4/3∙r^4∙φ |■(2π@0)
Hvis man indsætter grænserne får man:
4/3∙r^4∙2π-4/3∙r^4∙0= 4/3∙r^4∙2π
Dette udtryk sættes også ind i integralet:
I=ρ∙∫_0^R▒〖4/3∙r^4∙2π∙dr〗
Hvis man integrerer over r får man:
4/3∙r^5/5∙2π
Hvis man indsætter grænserne får man:
4/3∙R^5/5∙2π-4/3∙0^5/5∙2π=4/3∙R^5/5∙2π
Det opløste rumintegral lyder derfor:
I=ρ∙8/15∙R^5∙π
Dette kan omskrives til:
I=ρ∙4/3 πR^3∙2/5 R^2
Da massen kan beregnes ved m=ρ∙V , er massen af en kugle m=ρ∙4/3 πR^3. Derfor kan man i ovenstående erstatte ρ∙4/3 πR^3 med m. Altså er inertimomentet af en kugle med radius R og masse M og homogen densitet roterende om en akse gennem centrum af kuglen:
I=2/5 mR^2
Hastighed af en cylinder og en hul cylinder
Som nævnt i indledningen ruller en cylinder og en hul cylinder ikke lige stærkt ned af en rampe. I Figur x er problemet skitseret. De to cylindre, den ene hul den anden ikke, starter samtidig på toppen af rampen, som har højden h. I opgaven vil jeg gå ud fra at rampen er 1 m høj, længden af rampen er irrelevant, dog lang nok til, at cylindrene ruller og ikke falder. Begge cylindre har en homogen densitet og besidder massen 1 kg. De har også begge en radius til yderkanten på 5 cm. Den hule cylinders ydervæg er 1 cm tyk. Længden af cylindrene er for denne opgave også ligegyldig. Der ses bort fra friktionen.
Da cylindrene befinder sig hævet 1 m over jorden, besidder de potentiel Energi. Den potentielle energi beregnes med formlen E_pot=mgh , hvor m er massen, g er tyngdeaccelerationen, som i Danmark er 9,82 m/s^2 , og h er højden. Den potentielle energi for begge cylindre er derfor:
E_pot=1kg∙9,82m/s^2 ∙1m=9,82J
Da cylindrene roterer om deres egen akse og bevæger sig lineært ned af rampen, omdannes den potentielle energi i både rotationsenergi og kinetisk energi. Ligningen for rotationsenergi lyder E_rot=1/2 Iω^2 , hvor I er inertimomentet og ω er vinkelhastigheden. Ligningen for den kinetiske energi lyder E_kin=1/2 mv^2 , hvor m er massen og v er hastigheden. Derfor lyder ligningen for begge cylindre:
E_pot=E_kin+E_rot=1/2 Iω^2+1/2 mv^2=9,82J
Vinkelhastigheden ω og den lineære hastighed v er afhængige af hinanden. Jo hurtigere cylindrene roterer, desto hurtigere ruller de også og derfor har de en højere hastighed. Når cylindrene ruller ned af rampen bevæger de sig hver gang cylinderen roterer en omgang, omkredsen af cylinderen. Omkredsen af en cylinder er den samme som omkredsen af en cirkel som er defineret ved formlen O=2πr . Én rotation varer i perioden T. Det betyder, at hastigheden af cylindrene kan beskrives med formlen:
v=2πR/T
Vinkelhastigheden angiver hvor langt objektet roterer i et tidsrum. Formlen for vinkelhastigheden lyder dermed:
ω=∆φ/∆t
Her er ∆φ vinkelændringen i radianer, mens ∆t er tidsrummet hvori tidsrummet hvor denne vinkelændring sker. For cylindrene gælder det, at de begge roterer 2π, altså én omgang i perioden T. Vinkelhastigheden for begge cylindre er derfor:
ω=2π/T
Hvis man indsætter 2π/T for ω i ligningen for hastigheden finder an ud af, at hastigheden står i følgende forhold til vinkelhastigheden:
v=ω∙R
I ligningen for den samlede energi kan man derfor erstatte v med ω∙r:
1/2 Iω^2+1/2 m〖(ω∙R)〗^2=9,82J
Denne ligning gælder indtil videre for begge cylindre. Indsættes inertimomentet for den hele cylinder ser ligningen således ud:
1/2∙(1/2 〖mR〗^2 )∙ω_f^( 2)+1/2 m〖(ω_f∙R)〗^2=9,82J
Vinkelhastighedens variabel har jeg ændret fra ω til ω_f for at skelne den fra den generelle vinkelhastighed. I denne ligning indsættes nu alle kendte variable. Radiussen regnes om i meter, hvilket betyder at den er 0,05m, for at enhederne passer
1/2∙(1/2 〖∙1kg∙〖0,05〗^2 m〗^2 )∙ω_f^( 2)+1/2∙1kg∙〖(ω_f∙0,05m)〗^2=9,82J
Hvis man anvender potensreglen a^m∙b^m=(a∙b)^m på 〖(ω_f∙0,05m)〗^2 ser ligningen således ud:
1/2∙(1/2 〖∙1kg∙〖0,05〗^2 m〗^2 )∙ω_f^( 2)+1/2∙1kg∙〖ω_f^( 2)∙0,05〗^2 m^2=9,82J
Hvis man beregner ligningen ser den således ud:
0,000625kg∙m^2∙ω_f^( 2)+0,00125kg∙m^2∙ω_f^( 2)=9,82J
Dette kan sammenfattes til:
0,001875kg∙m^2∙ω_f^( 2)=9,82J
Hvis man deler begge sider med 0,001875kg∙m^2 får man følgende resultat:
ω_f^( 2)=5237,3s^(-2)
Hvis man tager roden af ligningen bliver vinkelhastigheden af den hele cylinder:
ω_f=72,37rad/s
For at beregne den lineære hastighed bruger man forholdet mellem hastigheden og vinkelhastigheden
v_f=ω_f∙R=72,37 rad/s∙0.05m=3,62m/s
Det samme princip kan man bruge på den hule cylinder. Dertil indsætter man inertimomentet for en hul cylinder:
1/2∙(1/2 〖m(R〗^2+r_h^( 2)))∙ω_h^( 2)+1/2 m〖(ω_h∙R)〗^2=9,82J
I dette tilfælde har jeg ændret variablen for vinkelhastigheden til ω_h. Da den hule cylinders væg er 1 cm tyk må radiussen af hulrummet være:
r_h=R-1cm=5cm-1cm=4cm
Alle variable indsættes i ligningen. Radiusserne bliver regnet om i meter for at enhederne passer sammen:
1/2∙(1/2 〖∙1kg∙(〖0,05〗^2 m〗^2+〖0,04〗^2 m^2))∙ω_h^( 2)+1/2∙1kg〖∙(ω_h∙〖0,05〗^2 m^2)〗^2=9,82J
Hvis man anvender potensreglen a^m∙b^m=(a∙b)^m på 〖∙(ω_h∙R)〗^2 ser ligningen således ud:
1/2∙(1/2 〖∙1kg∙(〖0,05〗^2 m〗^2+〖0,04〗^2 m^2))∙ω_h^( 2)+1/2∙1kg〖∙ω_h^( 2)∙0,05〗^2 m^2=9,82J
Hvis man beregner ligningen kommer den til at se sådan ud:
0,001025kg∙m^2∙ω_h^( 2)+0,00125kg∙m^2∙ω_h^( 2)=9,82J
Dette kan sammenfattes til:
0,002275kg∙m^2∙ω_h^( 2)=9,82J
Hvis man deler ligningen med 0,002275kg∙m^2 får man
ω_h^( 2)=4316,48s^(-2)
Hvis man tager roden af ligningen får man vinkelhastigheden som er:
ω_h=65,7 rad/s
Den lineære hastighed kan beregnes med hjælp fra formlen som blev afledt tidligere:
v_h=ω_h∙R=65,7rad/s∙0,05m=3,28m/s
Den hule cylinders hastighed når den er i bunden af rampen er 3,28 m/s mens den for den hele cylinder er betydeligt højere, nemlig 3,62 m/s. Dette betyder, at den hele cylinder kommer først ned til bunden af rampen. Dette kan forklares ved, at den hule cylinders masse samlet set er længere væk fra rotationsaksen, hvilket gør at inertimomentet er større. Dette gør cylinderen mere træg mod rotation, hvilket bevirker, at der skal bruges mere energi for at få den til at rotere.
Konklusion
I
Bibliografi
Halse, S., Laage-Petersen, E., & Touborg, J. P. (2005). Gyldendals Minilex Matematik. København: Gyldendal.
James, G., Burnley, D., Clements, D., Dyke, P., Searl, J., Steele, N., et al. (2011). Advanced Modern Engineering Mathematics. Harlow: Pearson Education Limited.
Karlsson, P. W. (24. 10 2016). Kordinatsystem. Hentede 12. 12 2017 fra Gyldendal Den Store Danske: http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=109909
Mathepedia. (u.d.). Kugelkordinaten. Hentede 11. 12 2017 fra Mathepedia: http://www.mathepedia.de/Kugelkoordinaten.aspx
Mathepedia. (u.d.). Zylinderkooridinaten. Hentede 11. 12 2017 fra Mathepedia: http://www.mathepedia.de/Zylinderkoordinaten.aspx
Meriam, J. L., & Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics Dynamics. Hoboken: John Wiley & Sons Inc.
Multimediakontoret. (u.d.). Rumfang af et cylinderrør. Hentede 18. 12 2017 fra Multimediakontoret: http://www.multimediakontoret.dk/programmer/byg/FramePm5e07.html
Pedersen, L. (2007). Fysik 112 Førstehjælp til formler. København V: Nyt Teknisk Forlag.
Pedersen, L. (2010). Matematik 112 Førstehjælp til formler. København: Nyt Teknisk Forlag.
TU Chemnitz. (u.d.). Polar-, Kugel-, Zylinderkoordinaten/Mehrfachintegrale. Hentede 10. 12 2017 fra TU Chemnitz: https://www.tu-chemnitz.de/physik/OSMP/cvb_ph1/ph1_tut_sk_01.pdf
Webmatematik. (u.d.). cosinus, sinus og tangens i retvinklede trekanter. Hentede 10. 12 2017 fra Webmatematik: http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/trigonometri/cosinus-sinus-og-tangens-i-retvinklede-trekanter
Webmatematik. (u.d.). Radianer. Hentede 11. 12 2017 fra Webmatematik: http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/trigonometri/radianer
http://www.mathepedia.de/Zylinderkoordinaten.aspx
https://www.tu-chemnitz.de/physik/OSMP/cvb_ph1/ph1_tut_sk_01.pdf
http://www.mathepedia.de/Kugelkoordinaten.aspx
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/traegheitsmomente
http://www.spektrum.de/lexikon/physik/traegheitsmoment/14670
http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/trigonometri/cosinus-sinus-og-tangens-i-retvinklede-trekanter
http://www.j3l7h.de/videos.html
http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analytisk_plan-_og_rumgeometri/koordinatsystem