2.1.1
Eveniment. Spat , iul de Evenimente.
Teoria probabilităt , ii este o ramură a matematicii care se ocupă de studiul s , i modelarea
experimentelor aleatoare. În acest sens se defines , te evenimentul elementar pentru un
experiment aleatoriu ales ca fiind oricare dintre rezultatele posibile obt , inute în urma unei
singure realizări a experimentului respectiv (cu condit , ia ca fiecare realizare să producă
exact un rezultat) s , i se defines , te spat , iul de evenimente Ω , ∅ ca fiind mult , imea tuturor
evenimentelor elementare. În acest context, un eveniment A reprezintă o submult , ime a
lui Ω (deci o mult , ime de evenimente elementare): A ⊆ Ω. Un eveniment A are loc în
urma unei realizări a experimentului aleatoriu ("se realizează") dacă R rezultatul realizării
respective apart , ine mult , imii evenimentului: R ∈ A. Astfel, Ω este denumit evenimentul
sigur, deoarece toate rezultatele posibile unei realizări a experimentului aleatoriu vor fi
evenimente elementare s , i, deci, conform definit , iei, vor apart , ine Ω, iar ∅ este denumit
evenimentul imposibil, deoarece fiecare realizare a experimentului aleatoriu are exact
un rezultat, ci nu mai put , in. Se împrumută din teoria mult , imilor terminologia pentru
operat , iile pe evenimente, a căror însemnătate urmează intuit , ia:
5Capitolul 2. Concepte Teoretice
• Reuniunea: evenimentul A∪B se realizează dacă cel put , in unul dintre evenimentele
A sau B se realizează
• Intersect , ia: evenimentul A ∩ B se realizează dacă se realizează atât evenimentul
A, cât s , i evenimentul B
• Complementarea: evenimentul A c se realizează dacă evenimentul A nu se reali-
zează
• Diferent , a: evenimentul A − B se realizează dacă se realizează evenimentul A s , i nu
se realizează evenimentul B
Două evenimente A, B ∈ Ω sunt incompatibile (sau disjuncte) dacă A ∩ B = ∅.
2.1.2
Probabilitate. Spat , iu de Probabilitate.
Pentru defini probabilitatea ca funct , ie de evenimente, este necesară întâi definirea unei
σ-algebre a lui Ω. Dată fiind o mult , ime nevidă Ω , ∅, se numes , te algebră a lui Ω o
familie nevidă F ⊂ P(Ω) (P mult , imea părt , ilor lui Ω i.e. P = {A | A ⊆ Ω}) astfel încât:
1. A ∈ F ⇒ A c ∈ F (închiderea la complementare)
2. A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F (închiderea la reuniune)
F se numes , te σ-algebră a lui Ω dacă este închisă la reuniune numărabilă:
A 1 , A 2 , . . . ∈ F ⇒
∞
[
A i ∈ F
(2.1)
i=1
(Ω, F ) se numes , te spat , iu măsurabil dacă F este o σ-algebră a lui Ω.
În acest context, o măsură de probabilitate pe spat , iul măsurabil (Ω, F ) este o funct , ie
P : F → [0, ∞) cu următoarele proprietăt , i:
1. P(Ω) = 1
∞
∞
S
2. P( A i ) = P(A i ), ∀A 1 , A 2 , . . . ∈ F disjuncte două câte două
i=1
i=1
Astfel, spat , iul de probabilitate complet aditiv se defines , te ca tripletul (Ω, F , P) unde
Ω , ∅ este spat , iul evenimentelor, F este o σ-algebră a lui Ω, iar P este măsură de
probabilitate pe spat , iul măsurabil (Ω, F ).
62.1. Statistică s , i Teoria Probabilităt , ii
Pentru un spat , iu de probabilitate (Ω, F , P) sunt adevărate următoarele:
1. P(∅) = 0
2. P(A) ≤ P(B), ∀A, B ∈ F , A ⊂ B
3. 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ∈ F
4. P(A c ) = 1 − P(A), ∀A ∈ F
5. P(B − A) = P(B) − P(A), ∀A, B ∈ F , A ⊂ B
6. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ∀A, B ∈ F
2.1.3
Independent , a Evenimentelor
Într-un spat , iu de probabilitate (Ω, F , P), se numes , te probabilitate condit , ionată de un
eveniment B ∈ F , notată P(· | B) : F → R, raportul:
P(A | B) =
P(A ∩ B)
, ∀A ∈ F
P(B)
(2.2)
Evenimentele A 1 , A 2 , . . . , A n ∈ F (n ≥ 2) sunt independente dacă:
P(A 1 ∩ A 2 ∩ . . . A n ) = P(A 1 ) P(A 2 ) . . . P(A n )
(2.3)
Totodată, A s , i B sunt independente condit , ionat de C ∈ F dacă:
P(A ∩ B ∩ C) P(C) = P(A ∩ C) P(B ∩ C)
2.1.4
(2.4)
Variabile Aleatoare
Fie mult , imea S(R) = {(a, b) | a < b, a, b ∈ R}. O variabilă aleatoare reală pe spat , iul
de probabilitate (Ω, F , P) este o funct , ie X : Ω → R cu proprietatea că
X −1 (B) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B} ∈ F , ∀B ∈ B(R)
(2.5)
unde B(R) = σ(S(R)) este σ-algebra mult , imilor boreliene pe R, sau cea mai mică σ-
algebră ce cont , ine toate mult , imile de forma S(R).
7Capitolul 2. Concepte Teoretice
O funct , ie φ : R → R, n ≥ 1 se numes , te măsurabilă dacă
φ −1 (B) ∈ B(R), ∀B ∈ B(R)
(2.6)
În acest context, se numes , te funct , ia de distribut , ie sau de repartit , ie a unei variabile
aleatoare X : Ω → R funct , ia F X : R → [0, 1]
F X (a) = P(X < a), a ∈ R
(2.7)
O variabilă aleatoare poate fi discretă sau continuă. X : Ω → R este discretă ddacă
mult , imea valorilor posibile ale lui X este finită sau infinită s , i numărabilă. În acest caz,
valorile posibile ale lui X se notează cu x 1 , x 2 , . . . s , i probabilităt , ile corespunzătoare lor cu
P(X = x i ), i = 1, 2, . . ., iar X poate fi reprezentată în felul următor:
x 1
X =
p
1
x 2
p 2
. . .
…
(2.8)
X se numes , te continuă dacă funct , ia de distribut , ie corespunzătoare F X : R → [0, 1],
F X (a) = P(X < a) este o funct , ie continuă. În acest caz, se numes , te densitate de probabili-
tate a unei variabile aleatoare continue X o funct , ie f = f X : R → [0, +∞) integrabilă cu
proprietatea că
Z
P(X ∈ B) =
f (x) dx, ∀B ∈ B(R)
(2.9)
B
Media unei variabile aleatoare X : Ω → R se defines , te în felul următor:
E[X] =
X
i≥1
Z
E[X] =
+∞
x i P(X = x i ) =
X
x i p i , dacă X este discretă
(2.10)
i≥1
x f (x) dx, dacă X este continuă s , i integrala respectivă există s , i este finită
−∞
(2.11)
Momentul de ordin r al lui X se defines , te ca fiind media variabilei aleatoare X r .
Momentul centrat de ordin r este media variabilei aleatoare (X − E[X]) r . Din acest punct
de vedere, o proprietate semnificativă a variabilelor aleatoare este momentul centrat de
82.2. Învăt , area Automată
ordin doi, sau dispersia, totodată pătratul deviat , iei standard, care are, conform definit , iei,
următoarea formă:
σ 2 (X) =
X
(x i − E[X]) 2 p i , dacă X este discretă
(2.12)
i≥1
Z
σ (X) =
+∞
2
(x−E[X]) 2 f (x) dx, dacă X este continuă s , i integrala respectivă există s , i este finită
−∞
(2.13)
Două variabile aleatoare X, Y : Ω → R se numesc independente dacă
P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A) · P(Y ∈ B), ∀A, B ∈ B
(2.14)
Două variabile aleatoare X, Y : Ω → R se numesc necorelate dacă
E[XY] = E[X] E[Y]
(2.15)